521

Re: Шлях на математичну вершину

sqrt(2)/2 == (sqrt(2)*sqrt(2))/(2*sqrt(2)) == 2/(2*sqrt(2)) ==1/sqrt(2).
Просто трохи зручніше перетворювати вирази без коренів у знаменнику, шкільна звичка.

Подякували: FakiNyan1

522

Re: Шлях на математичну вершину

FakiNyan написав:

зовсім не зрозумів, як то мона порізати по діагоналях, і отримати чотири копички по a/2

Вище Ваш же рисунок.
Одна з діагоналей вже до половини надрізана й показано вже дві висоти a/2 майбутніх копичок, які утворяться при розгортанні периметра.

Подякували: FakiNyan1

523

Re: Шлях на математичну вершину

koala написав:

sqrt(2)/2 == (sqrt(2)*sqrt(2))/(2*sqrt(2)) == 2/(2*sqrt(2)) ==1/sqrt(2).
Просто трохи зручніше перетворювати вирази без коренів у знаменнику, шкільна звичка.

угу, прикольно, а оте 2a^2 як отримати?
я от так спробував, але щось не то
https://cdn.discordapp.com/attachments/333936584481177600/400016918087467009/unknown.png

524

Re: Шлях на математичну вершину

Радіус - це відстань від центру до краю. А площа квадрата дорівнює квадрату подвоєного "радіусу".

Подякували: FakiNyan1

525

Re: Шлях на математичну вершину

koala написав:

Радіус - це відстань від центру до краю. А площа квадрата дорівнює квадрату подвоєного "радіусу".

а, тьху, зрозумів xD

526

Re: Шлях на математичну вершину

ReAl написав:
FakiNyan написав:

зовсім не зрозумів, як то мона порізати по діагоналях, і отримати чотири копички по a/2

Вище Ваш же рисунок.
Одна з діагоналей вже до половини надрізана й показано вже дві висоти a/2 майбутніх копичок, які утворяться при розгортанні периметра.

аа, зрозумів
https://cdn.discordapp.com/attachments/333936584481177600/400022947034824710/unknown.png

Подякували: ReAl1

527

Re: Шлях на математичну вершину

ReAl написав:

p.s. Отой прямокутний трикутник зі сторонами 2πr і r легко отримати як limn→∞ від послідовності вписаних у коло (описаних навколо нього) правильних n-кутників, з якими зробили такі самі фокуси, як ото з квадратом.

оце не можу уявити, яке те n? і таки вписаних, чи описаних?

528

Re: Шлях на математичну вершину

koala написав:

Якщо обчислите за шкільною формулою, то це буде (4/Pi) a^2.

За якою саме шкільною формулою?  І що це, взагалі, рахується? Площа кола по периметру квадрата?

529 Востаннє редагувалося leofun01 (08.01.2018 22:46:38)

Re: Шлях на математичну вершину

mathematicsonline - Площа кола, формула з поясненям (видиво, en)
Подякували: ReAl, FakiNyan2

530

Re: Шлях на математичну вершину

хм, ну я теж подумав про сектори, але ж вони не трикутники, подумав я після цього

Подякували: leofun011

531

Re: Шлях на математичну вершину

Ця відюха нагадала мені, що коли я дивився відюхи про інтеграли і т.д., то дядько сказав, що площа квадрата, чи то прямокутника, була виведена через інтеграли, і ця відюха теж наштовхує на думку, що й площа кола була виведена через інтеграли, то правда?

Подякували: leofun011

532 Востаннє редагувалося ReAl (08.01.2018 23:12:10)

Re: Шлях на математичну вершину

FakiNyan написав:
ReAl написав:

p.s. Отой прямокутний трикутник зі сторонами 2πr і r легко отримати як limn→∞ від послідовності вписаних у коло (описаних навколо нього) правильних n-кутників, з якими зробили такі самі фокуси, як ото з квадратом.

оце не можу уявити, яке те n? і таки вписаних, чи описаних?

Ну вписуємо по черзі 4-5-6-7-8-…кутники.
Вписаний чи описаний — все одно, lim сходиться до потрібного один знизу, другий згори.
Можна взяти напівсуму :-)
Тоді вже навіть квадрат
описаний - площа (2*r)2 = 4*r2
висаний - площа (r*sqrt(2))2 = 2*r2
напівсума = 3*r2, тобто вже напівсума вписаного і описаного квадратів дає π=3.

Щодо секторів:
З одного боку сума секторів дає точний результат, а не наближення.
З іншого — вони не вирішують проблему, бо площі секторів так само невідомі.
Якщо сектори урізати (для вписаного n-кутника) або наростити (для описаного) до трикутників, а ще у тій картинці верхні сектори перевернути і поставити поруч з нижніми, то вийдуть такі ж копички, як від квадрата. Тільки тепер від n-кутника.
Це не точне значення площі кола, але, збільшуючи кількість (до нескінченості пиляти однак завжди, але швидше подвоєннями — квадрат, 8-кутник, 16-кутник — просто тому, що легше будувати циркулем і лінійкою), ми сумою основ трикутників наближаємося до периметру кола, висотою вписаних трикутників — до радіуса (у описаних відразу радіус), а сумарною площею — до площі круга.
Таким чином можна довести, що площа круга рівна напівдобутку периметра на радіус навіть не знаючи, як периметр зав'язаний на радіус (тобто чому саме рівне π), що давні греки і зробили.

p.s. без інтегралів :-)
Тобто те, що площа круга дорівнює напівдобутку довжини кола на радіус можна довести і без інтегралів, і без знання отого клятого числа, яке пов'язує довжину кола з радіусом. Площа кола знаходиться десь між площами описаних і вписаних n-кутників, а вони нескінчено зближаться в міру зменшення основ n-кутників чи там кута на з центру на сторону.

Подякували: leofun01, FakiNyan2

533

Re: Шлях на математичну вершину

читаю про скалярний добуток, і не можу зрозуміти, що вони тут намагаються довести?

https://cdn.discordapp.com/attachments/333936584481177600/412291286926622721/unknown.png
https://cdn.discordapp.com/attachments/333936584481177600/412291387002978305/unknown.png
https://cdn.discordapp.com/attachments/333936584481177600/412291641261555732/unknown.png
звідкіля оте -2(a*b) взагалі взялось, і куди поділись a2 і b2 ?

534

Re: Шлях на математичну вершину

1) (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2*||a||*||b||*cos
2) (a - b)*(a - b) = a^2 - 2*a*b - b^2

(a - b)^2 = (a - b)*(a - b)   ==>>  1) і 2) еквівалентні

перпеписуємо праву частину 1) і 2) скоротивши (a^2 + b^2), які фігурують в  них обох

- 2*a*b = - 2*||a||*||b||*cos

а для чого вони це довели вам краще знати, ви підручник читаєте

535

Re: Шлях на математичну вершину

от я і питаю - для чого вони це довели?

536

Re: Шлях на математичну вершину

дивіться де вони посилаються на пункт 1.37

Подякували: FakiNyan1

537

Re: Шлях на математичну вершину

FakiNyan написав:

звідкіля оте -2(a*b) взагалі взялось,

https://image.ibb.co/djc3y7/image.png

FakiNyan написав:

і куди поділись a2 і b2 ?

https://preview.ibb.co/mgTMkn/image.png

Подякували: FakiNyan1

538

Re: Шлях на математичну вершину

FakiNyan написав:

От сьогодні я був задумався над теоремою Піхвагора.
Воно каже - сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І тут я був захтів розібратись - як той Піф дійшов до цього висновку? Як, взагалі, люди придумують оті всі круті формули, котрі реально працюють? Чи можна до цього дійти покроково і не напружуючись, як то підйом по сходам, чи тут треба зробити один різкий ривок, і перестрибнути на якісь інші сходи, де відповідь знайдеться на першій же сходинці.
Я от думав про то все, і мені здається, що всі ті формули породжуються з спостереження. Тре просто дивитись на різні речі, і якщо пощастить, то можна помітити закономірність, або не закономірність, а пропорції.

Взагалі-то геніально!!

539

Re: Шлях на математичну вершину

FakiNyan написав:

От сьогодні я був задумався над теоремою Піхвагора.
Воно каже - сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І тут я був захтів розібратись - як той Піф дійшов до цього висновку? Як, взагалі, люди придумують оті всі круті формули, котрі реально працюють? Чи можна до цього дійти покроково і не напружуючись, як то підйом по сходам, чи тут треба зробити один різкий ривок, і перестрибнути на якісь інші сходи, де відповідь знайдеться на першій же сходинці.
Я от думав про то все, і мені здається, що всі ті формули породжуються з спостереження. Тре просто дивитись на різні речі, і якщо пощастить, то можна помітити закономірність, або не закономірність, а пропорції.

думаю, сходинки кожен день збільшують шанси того, що в будь-який момент часу у вас вклються лампочка над головою, з виникненням геніальної думки в голові та зовнішнім проявом у вигляді викрику "Еврика" чи подібним))

тобто, підозрюю, у більшості геніальних відкриттів прорив -- це не вимучений ривок з останніх сил з розривами мязів,
а скоріше -- розслаблений стан з політом думки після чергової сходинки

Прихований текст

хотів висловити запитання -- що то за покемон такий, Піхва-гор, і в чиїх п..... він живе, проте не буду  :D

540

Re: Шлях на математичну вершину

Недавно встановив

\cos{(x)}=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{(\cos{(a+\frac{\pi k}{n})} \cos{(x+a+\frac{\pi k}{n})})}

https://i.ibb.co/t3N81yS/Latex-Cos-Cos-Eqtn.png
при будь-яких комплексних x, a і цілих n>1.

В споілерах візуалізації цієї формули при n=2, 3, 4, 5 і дійсних a, x.

gif n 2

https://i.ibb.co/ccDcKdD/Cos-Cos2-128.gif

gif n 3

https://i.ibb.co/FKtypzf/Cos-Cos3-128.gif

gif n 4

https://i.ibb.co/D4M4ycH/Cos-Cos4-128.gif

gif n 5

https://i.ibb.co/z7sctBT/Cos-Cos5-128.gif

Сірий пунктир - коливання амплітуд (можливо дивно звучить, але кращої назви не придумав).
Червоний - сума всіх інших (рухливих).

Хотів додати анімацію на wiki, але щось не вдається знайти відповідну формулу. Якщо знайдете, то киньте посилання і вкажіть точне місце.

Подякували: ReAl, FakiNyan, 221VOLT3