Ось же формула

на відрізку від x_k до x_k+1. Як шукати коефіцієнти там написано.

quez, ви дійсно думаєте, що я не побачив цю формулу, і що після вашого повідомлення я відразу все зрозумію і далі вже все легко буде зрозуміти?

шо то за функція, котра нам задана, і похідна котрої нам задана теж?

Сплайн - це кілька фрагментів функцій, зліплених таким чином, щоб похідна в точках зчеплення була однакова у різних фрагментів. Залежно від бажання/наполегливості/вимог/можливостей можна робити однакові похідні 2-го, 3-го і т.д. порядків, це додає плавності. Тобто:
- беремо параметрично задану функцію;
- шукаємо такі параметри, щоб в певних точках відповідні похідні дорівнювали одна одній;
- будуємо на кожному фрагменті нашу криву.
Звідки брати функцію? Та звідки хочете. Найпростіше - поліном (скільки членів - стільки параметрів). Але ніхто не забороняє всякі синуси-косинуси та арктангенси брати. В літературі класичні приклади розібрані.
Як перетворити діапазон на 0..1 - найпростіше лінійно. Тобто у вас є діапазон x1..x2 - то знаходьте k і b такі, що x = kt+b буде давати x1 для t=0 і x2 для t=1.

так ви просто тикнули мені першу функцію, котру побачили, а я питав, яка функція використовується для знаходження

короче кажучи, переписав  я потім той код і отримав ще одну бяку, а потім наткнувся на ось таку сторіночку http://paulbourke.net/miscellaneous/interpolation/ використав косинусну інтерполяцію, але воно не зовсім підходить мені, зате воно підходить для малювання хвиль
зара буду брати код з інфою з нового сайту отого

ну мій другий код був інший, отакий

using UnityEngine;
using System.Collections;
using System;
 
public class Interpolation : MonoBehaviour {
    public Transform[] dots;
    public float[] diffX, diffY, divDiff, c, d;
    public LineRenderer line;
    private int maxIndex, index;
 
    void Start()
    {
        line = GetComponent<LineRenderer>();
        maxIndex = (dots.Length - 1) * 10;
        diffX = new float[dots.Length - 1];
        diffY = new float[dots.Length - 1];
        divDiff = new float[dots.Length - 1];
        c= new float[dots.Length - 1];
        d= new float[dots.Length - 1];
        line.SetVertexCount(maxIndex);
    }
 
    void makeDiff()
    {
        for(int i =0; i<diffX.Length;i++)
        {
            diffX[i] = Mathf.Abs(dots[i].position.x - dots[i + 1].position.x);
            diffY[i] = Mathf.Abs(dots[i].position.y - dots[i + 1].position.y);
            divDiff[i] = diffY[i] / diffX[i];
        }
    }
 
    void Update()
    {
        Go();
    }
 
    float f1(float x)
    {
        return Mathf.Sin(x) + Mathf.Sin(2 * x);
    }
 
    float f2(float x)
    {
        return Mathf.Cos(x) + Mathf.Cos(2 * x);
    }
 
    void Go()
    {
        index = 0;
        makeDiff();
 
        for (int k = 0; k < diffX.Length; k++) {
            float xk = dots[k].position.x;
            float xk1 = dots[k + 1].position.x;
            c[k] = (3 * divDiff[k] - 2 * f2(k) - f2(k+1)) / (xk1 - xk);
            d[k] = (f2(k) - 2 * divDiff[k] + f2(k + 1)) / Mathf.Pow((xk1 - xk), 2);
        }
 
        for(int k =0; k<diffX.Length; k++)
        {
            float xk = dots[k].position.x;
            float xk1 = dots[k + 1].position.x;
 
            for (float i = 0; i<1;i+=0.1f)
            {
                float xx = Mathf.Lerp(xk, xk1, i);
                float yy = f1(i) + f2(i) * (xx - xk) + c[k] * Mathf.Pow(xx - xk, 2) + d[k] * Mathf.Pow(xx - xk, 3);
 
                line.SetPosition(index, new Vector3(xx, yy, 0));
 
                index++;
            }
        }
    }
}

і дає він от такі результати
https://www.youtube.com/watch?v=kviLzizSNmw

так а чо її формулювати і розв'язувати? я ж взяв наче готовий алгоритм, котрий треба лишень запрограмувати, тільки от не програмуються ніяк.
Про степені похідних я не зна, але там має і першої похідної вистачити, для нормального результату. Я так пойняв, що похідні на кінцях кривих мають дорівнювати похідним на кінцях сусідніх кривих, тоді і дотична має поєднувати точки i та i+1

А яку функцію беремо? Поліном?

ммм, як цікаво. тобто сплайн складається не з шматків інших кривих, котрі задані отою параметричною функцією, а сам з шматків самого себе, при чому щоб знайти ті шматки, треба знайти сам сплайн, дуже цікаво, так так, тобто там щоб знайти коефіцієнт оцього здорового рівняння, треба знайти його самого. чи тіпа того

це якщо ви мали на увазі, що от ця штука і є f(x)