1 Востаннє редагувалося Ярослав (14.05.2013 15:44:54)

Тема: Розв'язання крайової задачі різницевим та точним методом

Вітаю форумчани!
Я намагався вирішити задачу сам, шукав в Гуглі, проте у мене нема багатьох знань щоб розібратись самотужки.
Маємо диференційне рівняння
2у'' + у = cos(x)
І наступні умови:
du/dx = ( y_км - y_к ) / n
крайові умови:
y(0) = 0; y(1) = 1
Сітка { 0; 0.25; 0.5; 0.75; 1 }
h = 0.25
x_0 = 0.00
x_1 = 0.25
x_2 = 0.50
x_3 = 0.75
x_4 = 1.00
Те що розташовується між нижнім підкреслюванням та пробілом - це індекс змінної.
І його треба розв'язати двома методами: точним та методом скінченних різниць.
Не маю бажання просто отримати розв'язок, прошу детально пояснити хоча б точний метод.

Білий Лунь

2

Re: Розв'язання крайової задачі різницевим та точним методом

Точний метод полягає у розв'язанні дифрівняння із початковими умовами.
2у'' + у = cos(x) - неоднорідне лінійне дифрівняння зі сталими коефіцієнтами. Детальніше можна погуглити. Якщо коротко, то розв'язується у два етапи:
1) однорідне лінійне дифрівняння зі сталими коефіцієнтами - 2у'' + у =0 (складається характеристичне рівняння, шукаються його корені, ...);
2) частинний розв'язок.
Відповідно розв'язком дифрівняння буде сума розв'язку однорідного та частинного розв'язку.
Розв'язок міститиме два невідомих коефіцієнти, які потрібно знайти, використовуючи умови y(0) = 0; y(1) = 1.
Тобто точним розв'язком буде якась функція.
P.S. Що таке

du/dx = ( y_км - y_к ) / n

я взагалі не зрозумів.

3

Re: Розв'язання крайової задачі різницевим та точним методом

P.S. Що таке

    du/dx = ( y_км - y_к ) / n

я взагалі не зрозумів.

км і к це індекси, тобто ігрек кмне і ігрек кате.

4

Re: Розв'язання крайової задачі різницевим та точним методом

Vo_Vik написав:

P.S. Що таке

    du/dx = ( y_км - y_к ) / n

я взагалі не зрозумів.

км і к це індекси, тобто ігрек кмне і ігрек кате.

Те що це індекси, я зрозумів. Але що вони означають?
І що таке u?

5

Re: Розв'язання крайової задачі різницевим та точним методом

Для однорідного рівняння
2у'' + у = 0
Характеристичне рівняння буде мати наступний вигляд
2p^2 + 1 = 0
2p^2 = -1
p = -0.5^(1/2) = 0.70 * i
Маємо комплексний корінь, що з ним робити далі?

Білий Лунь

6

Re: Розв'язання крайової задачі різницевим та точним методом

Якщо корені комплексні a+ib та a-ib, то розв'язок шукається у вигляді:
y(x)=C1*exp(ax)*cos(bx)+C2*exp(ax)*sin(bx).
У Вашому випадку:
y(x)=C1*cos(x/sqrt(2))+C2*sin(x/sqrt(2))

Подякували: Bartash1