Wolfram Mathematica

Що саме мається на увазі ? Намалюйте приблизну схему (статичну картинку), щоб я знав як то має виглядати.

Хотів додати сюди візуалізацію для формули (6), але wiki мені каже "Щось пішло не так" і дає дві кнопки "Спробувати ще раз" і "Приховати". Потрачено.
Залишу тут, може в когось получиться.

Clear[plotStyleList, addStyle, graphicsList];
plotStyleList = {
    {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[.005]},
    {RGBColor[0, .65, 0], Thickness[.003]},
    {RGBColor[0, 0, 1], Thickness[.003]},
    {Gray, Dashed, Thickness[.002]}
};
addStyle = (Style[#, 15, FontFamily -> "Consolas"] &);
graphicsList = (Table[Labeled[Graphics[
    Plot[{
            Cos[x + t],
            Cos[x]*Cos[t],
            -Sin[x]*Sin[t],
            Cos[x + t]/2
        }, {x, -2*Pi, 2*Pi}, 
        PlotStyle -> Table[Directive @@ psItem, {psItem, plotStyleList}],
        ImageSize -> {320, Automatic}, AspectRatio -> 1/Pi,
        PlotRange -> {{-2*Pi, 2*Pi}, {-(1 + .05), 1 + .05}}, 
        Filling -> {
            2 -> {{4}, Directive[Lighter[RGBColor[.25, .9, .25], .5], Opacity[.1]]},
            3 -> {{4}, Directive[Lighter[RGBColor[.25, .25, 1], .5], Opacity[.1]]}(*,
            4->{{4}, Directive[Lighter[RGBColor[.5,.5,.5],.5], Opacity[.1]]}*)
        }]
    ],
    {
        Column[Table[Labeled[Graphics[{
                plotStyleList[[cItem[[1]], 1]],
                Rectangle[{0, 0}, {3, 1}]
            }, ImageSize -> {30, Automatic}
        ], addStyle[cItem[[2]]], {Right}],
        {
            cItem, {
                {1, "+cos(x+t)"},
                {2, "+cos(x)cos(t)"},
                {3, "-sin(x)sin(t)"}
            }
        }]],
        addStyle["x"],
        addStyle["t = " <> ToString[N[t, 4]]]
    },
    {{Bottom, Left}, Right, {Top, Left}}
    ],
    {t, 0, 2*Pi - 1/1000, 2*Pi/#}
]&);
Export["C:/Path/FileName_" <> ToString[Length[#]] <> ".gif", #] &[graphicsList[48]];

Ідею зрозумів. Попробую щось таке зробити, але не знаю чи в мене получиться.

це воно має виглядати, як юніт вектор, що використовує значення синусу чи косинусу в певній точці для обертання себе? Тобто. коли значенн 0 - то воно горизонтальне, а коли 1  - вертикальне вгору, а мінус 1 - вертикальне вниз?

будемо брати знак останнього значення, що не дорівнює нулю. Якщо воно більше нуля, то вправо, а якщо менше, то вліво, наприклад.

такс, я зрозумів, це вони через це
довели ось це

та чо ви мені вподобайки ставите, але не допомагаєте???
ладно, озьдо, що я поки що вияснив...

Дивимось на жовте.
Коли ми розгортаємо квадрати, і перемножуємо те, що маємо, у нас виходить те, що зелене, та шлак у вишляді того, що синє. При цьому, якщо ми подивимось на зелене, то побачимо, що воно є субою добутків компонентів a та b, але не всіх компонентів, а лише тих, індекс котрих різний. Тобто, якщо а та b містять компоненти x, y та z, то ми бачимо добутки a_x з b_y та  з _z, але не бачимо добутків компонентів з одним й тим самим індексом, тобто, не бачимо a_x помножене на b_x.
Коли би додаємо ці добутки, що представлені виразом помаранчевого кольору, то в нас є перемноження кожної компоненти вектору a, з кожною компонентою вектора b, а ми це можемо спростити до виразу, що виділений червоним кольором.
Тобто. спочатку ми додаємо помаранчеве до зеленого, і отримуємо червоне. Саме помаранчеве, це скалярний добуток двох векторів, і ми можемо записати його, як (a*b). І так, як ми додали помаранчеве до зеленого на початку, то в кінці (після перетворення їх суми в червоне), ми віднімаємо побаранчеве, котре записане, як сіре.
В кінці ми бачимо a²b² - (a*b)². З (a*b)² все зрозуміло, це скалярний добуток. А от a²b² - це вже перемножені вектори. Тобто, a - це a_x+a_y+a_z (і це все в квадраті), і для b - все так само.

Я все правильно розумію? Якщо так, то скажіть мені, будь ласка, куди поділось те, що виділене синім?

висновок ваш виглядає правильниним

стосовно синього рівняння, продовжу з моменту коли ми розклали жовте на

зелене - синє

тепер додамо до нашого ріняння таку конструкцію яка ніяким чином його не змінить

зелене - синє + оранжеве - оранжеве

погрупуємо їх

(зелене + оранжеве) - (синє + оранжеве)

і тепер відповідно перша група перетворилась на червоне, а друга - на сіре
можете це перевірити вручну розкривши квадрат сірого рівняння

про яке перемноження ви говорите? зелене і синє рівняння якраз є наслідком розкриття дужок жовтого і зведення подібних доданків

вподобайки ставимо, тому що ще не доросли самі до таких висот

(a−b)² = (a−b) * (a−b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2*ab + b²