Вам потрібно розташовувати слова в алфавітному порядку ?

--------------------------------------------------------------------------
Я перший раз бачу оператор ">", "<" для string, але судячи з коду він робить так:
Маємо два слова "АБВ" і "АББ"
Якщо буква з індексом n в обох слів однакова, то ідемо далі поки не знайдемо різні букви.
Коли знайшли різні букви, то дивимося яка з них стоіть далі в абетці.
Якщо слова різні за довженою, то більше слово буде нижче за абеткою.
--------------------------------------------------------------------------
Можливо я це напридумв і воно просто порівнює довжену стрічок, але якого біса тоді таку штуку не юзають ? Всі порівнюють довжину через .length();

Програмісти Сі і С++ це таки трохи різні люди, ви нарешті
оприділіться хто ви, і яку мову хочете вивчати. Питання
ваше надзвичайно просте, як мінімум через те, що ви
або вибрали погану книжку, або почали її читати з середини.
Відкрийте розділ про char’и та перечитайте його, якщо вам
все ще не стало зрозуміло що вони з себе представляють,
то можете загуглити, але я б тоді таки радив змінити книжку.

Якщо коротко char’и порівнюють як цілі числа, бо
такими вони по суті і є. А оператори більше/менше
у std::string роблять те саме лиш з поправкою на
лексографічний порядок.

Ну, насправді одне з перших завдань, які слід зробити на C++ після вивчення синтаксису - це написати власний string.
Ви можете перейти в <string> і подивитися, як там описується std::string, але гарантую, що ви там нічого не розберете.
Якщо в двох словах, то std::string - це обгортка char*, яка автоматично виділяє та звільняє пам'ять та має зручні функції для обробки, на кшталт operator + замість strcat.

Як вам вже сказали std::string - це лише «розумна» обгортка
над char*, а власне basic_string - це деяка «загальна» обгортка,
реалізована на шаблонах, для того, щоб не писати кілька різних
реалізацій для звичайного char i для більш «широких» типів
про них (wchar, char16, char32) дещо можна почитати в сусідній
темі, я там дещо описував
https://replace.org.ua/topic/10730/
Власне оці записи <> це і є шаблони, які дозволяють написати
одну загальну реалізацію для різних типів, а окремі будуть
згенеровані компілятором замість вас, впевнений, що у вашій
книжці про них пише, пошукайте. Якщо цікаво детальніше
про них почитати можете взяти книжку, називається
C++ Templates, за авторством Девіда Вандервуда.

Певним чином шаблони - аналоги макросів; але гарантовано "чистіші" (зокрема, час життя параметру шаблона обмежений шаблоном, а не продовжує жити далі, як у вас).
Крім того, є правило "substitution failure is not an error" (SFINAE), яке означає, що доки ви не намагатиметеся робити заборонену операцію, все працюватиме:

MyClass <int> mci;
mc.a = 10;
mc.b = 3;
mc.dila();
MyClass <char *> mcpc;
char st[] = "ABC";
mcpc.a = st;
mcpc.b = st;
mcpc.dilb();//і тільки тут станеться помилка, решта коду працює

Можна писати окремі спеціалізації шаблонів для певних типів.
Є ціла бібліотека <type_traits> для виявлення властовостей параметрів у шаблонах.

Ні, це максимум дає підстави вважати, що basic_string може поводитися неочікувано, якщо підставити йому неправильні параметри. string - абсолютно нормальний тип, який використовується в реальних проектах.

Якщо ви вбачаєте забагато можливостей для втручання в код - C++ не ваша мова. C++ якраз відрізняється тим, що майже всі обмеження можна, за бажання, обійти, мова не диктує вам, що робити, це відповідальність програміста.
І прочитайте, будь ласка, якийсь підручник, бо ви зараз ставите питання з синтаксису мови, а писати вам тут підручник безглуздо: якщо ви його не прочитали там, то з чого б ви стали його читати тут? Якщо вас так уже це цікавить, то це зветься "перевантаженням операторів" (operator overloading). Але прочитайте не лише про них, а весь підручник.

Ніколи не розумію людей, які беруть якусь книжку по
мові програмування для початківців, відкривають її десь
на середині, читають звідти дві сторінки при цьому нічого
не зрозумівши і потім біжать на форуми з питаннями на
ці теми, раджу вам таки почати читати книжку від самого
початку, навіть, якщо до цього ви вчили Сі, і таки дочитувати
книжку, як мінімум до кінця розділу, якщо щось не зрозуміло
спробуйте перечитати розділ ще раз, поки розуміння не прийде,
зазвичай у книгах для початківців дають більш ніж достатньо
n-их знань для рівня початківця (за умови, що це хороша книга),
звісно після прочитання цієї книги у вас напевне можуть виникати
питання, а як ж воно там працює під капотом і це нормально, бо
у книжках для початківців неможливо розписати все настільки
детально інакше кількість сторінок перевалить в кілька тисяч.
Тобто, якщо вам щось не зрозуміло, то можливо це варто трохи
відкласти на потім і згодом почитати окремі книжки де більш
детально описана робота мови, або ж звернутися до стандарту
чи загуглити, я впевнений, що на більшість ваших питань вже
давно є відповіді на stackoverflow
А от якщо не має тоді і можна тут задати питання))

Старі радянські книжки це поганий варіант, я вам отут скину
пару толкових книг по С++
https://www.amazon.com/Primer-5th-Stanl … 0321714113
amazon.com/C-Programming-Language-4th/dp/0321563840

Ой і ще чуть не забув дуже круту книгу, яка водночас є невеликою,
але тим не менш містить багато прикладів, та задач для розв'язування,
звісно вона може показатися трохи складною адже вона містить щось
близько 350 сторінок і тут зрозуміло, що авторам прийшлося піти на
поступки та від чогось відмовити або щось урізати (власне звідти і назва
Accelerated C++), проте це не робить цю книжку поганою.
Я вважаю це одна з найкращих книг для вступу в роботу з С++,
особливо якщо ви з Сі і читали наприклад K&R.
https://www.amazon.com/Accelerated-C-Pr … amp;sr=1-1