Ну і вводите ви "%li" (long int), а тип змінної - unsigned int. В принципі, в розумних межах це не має значення, але непорядок. Вас компілятор не попереджає про таке?

Ні, в прикладах до даної лабораторної роботи ,яку я виконую,
всі змінні unsigned int вводяться через %li. Я спитаю викладача на рахунок цього.

Звісно, можна в лоба:

        double total_product = 1.;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            double product = 1.;
            for(int j=1; j<=i; ++j)
                product *= (1+1./i);
            total_product *= product;
        }

Чи навіть без проміжного значення - все ж і так домножується

        double product = 1.;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            for(int j=1; j<=i; ++j)
                product *= (1.+1./i);

Але можна це все покращити за допомогою математики.
Ми маємо добуток (я позначу рядки літерами, щоб було видно, що куди іде):

A →(1 + 1/1) ×
B →(1 + 1/2)(1 + 1/2) ×
C →(1 + 1/3)(1 + 1/3)(1 + 1/3) ×
...
D →(1 + 1/n)(1 + 1/n)×...×(1 + 1/n)

Звісно, не має значення, в якій послідовності ми будемо обчислювати елементи добутку; переставимо їх (по літерах видно, що нічого не втрачено і не з'явилося):

(1 + 1/n) ×
(1 + 1/n)(1 + 1/(n-1)) ×
...
(1 + 1/n)(1 + 1/(n-1))×...×(1 + 1/3) ×
(1 + 1/n)(1 + 1/(n-1))×...×(1 + 1/3)(1 + 1/2) ×
(1 + 1/n)(1 + 1/(n-1))×...×(1 + 1/3)(1 + 1/2)(1 + 1/1)
     D                         С        B        A

А тепер стає видно, що i+1-й рядок можна отримати з i-го множенням його на (1+1/(n-i+1)), якщо нумерувати рядки з 1. Можна їх нумерувати з 0, тоді множити треба на (1+1/(n-i)). Але простіше, гадаю, все ж зробити i спадним від n до 1. Отже:

        double product = 1., current = 1.;
        for(int i=n;i>0;--i)
        {
          current *= (1.+1./i);
          product *= current;
        }

Порівняти результати і швидкість можете тут: https://ideone.com/WY96xJ