https://uk.wikipedia.org/wiki/Факторіал
В C/C++ ! - це логічна інверсія, оператор НЕ. А оскільки cos практично завжди ненульовий, логічна інверсія від нього - 0. Що й маєте.

Спершу трохи математики.
ln(x) від k не залежить і його можна винести з суми. Консинус має деякі гарні властивості, такі, як періодичність, з яких можна вивести, що cos(k*PI-x) буде набувати значень cos(PI-x)=-cos(x) та cos(2*PI-x)=cos(-x)=cos(x) залежно від парності k. cos(x) також не залежить від k, і його теж можна винести. Відтак, ми маємо вираз
cos(x)/ln(x)*sum(-1^k*k! при k від 1 до 7).
Тепер можна перейти до обчислень. В принципі, оскільки вираз в циклі не залежить від x, ми можемо його обчислити один раз і підставити:

#include "pch.h"
#include <iostream>
#include <cmath> //math.h - це заголовок C, а у нас C++

int main()
{
    setlocale(LC_CTYPE, "ukr");
    std::cout <<"Введiть х:";
    double x;
    std::cin >> x; //а ви вводили double x як "%d", тобто ціле
    /* //закоментований код слід виконати один раз і підставити результат
    int factorial_sum = 0, factorial = 1;
    for (int k = 1; k <= 7; k++) 
    {
        factorial *= -k;
        factorial_sum += factorial;
    }
    std::cout<<"Сума факторіалів:" << factorial_sum;*/
    double factorial_sum = -4421.; //отримано в закоментованому коді
    double result = cos(x) * factorial_sum / log(x);
    std::cout<<"Сума = "<<result;
    return 0;
}