У випадку вхідного параметру 110 це буде невірно... Буде 100 + 10, а номінал 10 не передбачений.

Але в умові задачі вказано, що задану суму завжди можна видати комбінацією наявних номіналів.
У випадку суми 110 повинно бути 50 + 20 + 20 + 20.

Буду вдячний, якщо хтось знайде логічну помилку шляхом тестування на інших різних числах, які дадуть невірний результат.

Нагадую, результат показує мінімальну кількість банкнот у порядку 100, 50, 20, котрі потрібні для обміну на введену суму (сума вводиться завжди така, що дасть можливість обміняти на наявні номінали).

def atm(amount):

      Opt = [0 for i in range(0, amount+1)]
      sets = {i:[] for i in range(amount+1)}
      banknotes = [20, 50, 100]
      n = len(banknotes)
      for i in range(1, amount+1):
            smallest = float("inf")
            for j in range(0, n):
                 if (banknotes[j] <= i):
                       smallest = min(smallest, Opt[i - banknotes[j]]) 
                       if smallest == Opt[i - banknotes[j]]:
                             sets[i] = [banknotes[j]] + sets[i-banknotes[j]]
            Opt[i] = 1 + smallest 
      banknotes = sorted(sets[amount])
      var100 = 0
      var50 = 0 
      var20 = 0
      for x in banknotes: 
          if x == 100:
              var100 = var100 + 1
          elif x == 50: 
              var50 = var50 + 1
          else: 
              var20 = var20 + 1
      result = str(var100) + ' ' + str(var50) + ' ' + str(var20)
      return result
    
print (str(110) + ': ' + atm(110))
print (str(120) + ': ' + atm(120))
print (str(40) + ': ' + atm(40))
print (str(90) + ': ' + atm(90))
print (str(190) + ': ' + atm(190))
print (str(210) + ': ' + atm(210))

Це динамічне програмування і я його ще не зрозумів, код не мій. Точніше, мій лише починаючи з цього рядка:

banknotes = sorted(sets[amount])

Я добре вмію ґуґлити ) Знайшов за ключовими словами "atm python" код, котрий виконує те що мені потрібно. Тільки той код виводив результат не в тому вигляді, котрий потрібно було мені, тому кінцівку трохи переробив. Я вже зробив print кожного кроку, щоб так би мовити "віддебажити", однак динамічне програмування я поки що не осилив. Якщо комусь зрозуміло, то поясніть. Та як би там не було, поки що не бачу недоліків у цьому коді.

Робити це в циклі неефективно.
Переконайтеся самі - спробуйте отримати такі ж результати за допомогою вашого алгоритму:

Я вище описав цю проблему з циклом:

Можливо, я не до кінця зрозумів, що саме ви описали "словесно". То розкажіть детальніше, будь ласка. Мати декілька варіантів ще краще.

Мене дещо непокоїть, що я не розумію код котрий я доопрацював і котрий працює відмінно (бо поки не знайдено недоліків), однак описати словами його алгоритм я поки що не можу...