Тисячі років в минуле математики наших предків вже знали що не можна просто так додавати кількості різних одиниць (або різних вимірностей). На приклад:

• не можна додавати площу (m^{^2}) і довжину (m^{^1})

• не можна додавати масу (kg) і обєм (m^{^3})

• не можна додавати час (sec) і швидкість (^m/_sec)

Для них такі спроби додаваня не мали сенсу (і вони були праві).
При тому множити або ділити різні одиниці цілком нормально (якщо того вимагає задача, або якщо це може бути корисно), і на тому побудована майже вся фізика [як наука].
Тепер ми знаємо що [чисто математично] додавати різні одиниці можна, але сенсу від того не прибавиться, бо отриманий результат залишиться комбінованою кількістю (на приклад: 2 m + 3 kg), і для багатьох прикладних задач ця конструкція не приносисть користі.

Тепер багато математиків відійшли від цих базових принципів, занурились в комплексний аналіз, досліджують аналітичні доповненя, і працюють з мероморфними функціями. Короче, танцюють навколо нескінченностей. [Іноді я теж там.]

Я пропоную повернутись до джерела і повторно розглянути [на перший погляд] прості приклади: поліноми, і поліноміальні рівняня.

В освітніх закладах людям (переважно дітям) показують квадратне рівняня такого вигляду:
a*x^2 + b*x + c = 0
Давні греки, ймовірно, сказали би "це якась дурня" (в перекладі на українську).
А дітям вчителі пропонують розвязувати такі рівняня знаходити корені таких рівнянь саме в такому вигляді. Та не аби як, а з дискримінантом:
x₀ = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)
x₁ = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a)
При тому нічого не говорять про вимірності a, b, c. Вчителі пропонують вважати всі ці значеня скалярами, і x теж. (це не ок)

¿ Що не так з цим підходом ? :
Якщо ми розглянемо такий поліном як функцію
f : (x) -> (a*x^2 + b*x + c)
, та будемо подавати на вхід довжину (m) [на приклад], то зразу вилазить проблема: На виході маємо комбінований результат (a m^{^2} + b m + c 1).
Відповідно, рівняня f(x) = 0 дійсне тільки якщо a = 0 && b = 0 && c = 0. І тоді вся задача (знайти корені) не має сенсу.
Тож, a, b, c не можуть всі одночасно бути скалярами, якщо треба розвязати [реальну] фізичну задачу.

¿ То хто вони (a, b, c) ? :
Відповідь легко знайти в самому поліномі. Їх вимірності залежать від вимірності арґумента на вході (x) і [частково] залежать від бажаного результату на виході.
Повернемось до полінома
f : (x) -> (a*x^2 + b*x + c)
Якщо на вхід подаємо довжину (m), і на виході хочемо отримати площу (m^{^2}), тоді:

• a : ? 1 (скаляр)

• b : ? m (довжина)

• c : ? m^{^2} (площа)

, і з цим вже можна працювати. Всі доданки { a*x^2, b*x, c } : { m^{^2} } (мають спільний тип, однакову вимірність), і функція
f : ? m -> ? m^{^2}
є простим відображеням.

Тепер, з знаням всіх компонентів полінома, повернемось до поліноміального рівняня
a*x^2 + b*x + c = 0
Ціль: знайти корені { x₀, x₁ } в загальному алгебраік вигляді.

До лівої і правої частини рівняня (одночасно) можемо домножити будь-який скаляр і це не вплине на корені. Тобто можна шукати корені не початкового рівняня, а його маштабованої версії:
x^2 + b/a*x + c/a = 0

Далі буде корисно знати що таке парабола і як вона виглядає. [Якщо вона перетинає горизонт (y = 0) на прямокутній системі координат, то] її 2 корені на однаковій відстані від лінії симетрії параболи.

• Відстань між (0, 0) і лінією симетрії позначимо A.

• Відстань між (A, 0) і коренями (x_n, 0) позначимо B. Тобто

  • x₀ = A - B

  • x₁ = A + B

Користуючи корені (x_n) і параметри { A, B } виведемо натуральну форму рівняня:
(x - x₀)*(x - x₁) = 0
x^2 - (x₀ + x₁)*x + (x₀*x₁) = 0
x^2 - ((A - B) + (A + B))*x + (A - B)*(A + B) = 0
x^2 -           2*A      *x + (A^2   -   B^2) = 0
x^2 - 2*A*x + (A^2 - B^2) = 0 - це натуральна форма квадратного рівняня, до вигляду якої трерба привести початкове рівняня, щоб отримати корені.
- 2*A       = b/a  =>  A = -b/(2*a)
(A^2 - B^2) = c/a  =>  B^2 = -c/a + A^2  =>  B = sqrt(-c/a + (b/(2*a))^2)
x₀ = -b/(2*a) - sqrt(-c/a + (b/(2*a))^2)
x₁ = -b/(2*a) + sqrt(-c/a + (b/(2*a))^2)
Корені знайдено.

Зверніть увагу, параметри { A, B } натуральної форми мають вимірність таку як x. Ліва частина форми є сумою квадратів. Це робить її застосовною і корисною в задачах фізики. Для майбутніх математиків форма теж буде корисна, вони будуть розуміти чому корені мають такі алгебраік вирази.

Я хочу популяризувати цей метод. Але перед тим мушу ще трохи попрацювати.

Пізніше додам натуральну форму кубічного рівняня в цей топік.