Власне історія довга, тому буду намагатися описати все коротко та ясно.
На сервері є декілька скриптів, які генерують потрібні мені дані, далі моя програма ті дані завантажує та обробляє.
Є наприклад файл image_links.php якому передається урл деякої сторінки і він генерує і записує дані у файл. Моя програма той файл завантажує, і виводить ці дані.
Наприклад звернулася моя програма з параметром url=firstrequest
згенерувався файл:

програма завантажує цей файл, читає його порядково і кожен рядок виводить.
Йдемо по другому колу, але уже звертаємося з параметром secondrequest
Генерується такий файл

знову ж таки, програма завантажує і виводить построчно. Але тут якраз і починається проблема. І заключається вона у тому, що виводиться те, що було у першому файлі.
Параметри скрипту передаються різні, а дані виводяться однакові. Плюс, на сервері дані теж змінюються, то ж тут два варіанти. Або я щось напартачив або воно чомусь не завантажує другий раз файл.

Процедура для завантаження файлу:

procedure DownloadFile(URL,FileName: String);
var
  stream : TMemoryStream;     
  http : TIdHTTP;
begin
   http := TIdHTTP.Create(nil);
   stream := TMemoryStream.Create;

   http.get(URL, stream);
   stream.SaveToFile(FileName);

   FreeAndNil(http);
   FreeAndNil(stream);
end;

Сам кусок, який відповідає за завантаження, обробку та вивід отриманих даних.

//Отримуємо посилання на сторінки із картинками
      Memo1.Lines.Add('Очікуємо на отримання посилань на сторінки із картинками.');
      
      WebBrowser2.Navigate(ParseServer+'image_links.php?url=http://секретні_дані/'+BookId);
      Sleep(2500);

      DownloadFile(ParseServer+'image_links.txt', WorkDir+'image_links.txt');
      Memo1.Lines.Add('Посилання на сторінки із зображенням отримано.');       
        //Обробляємо список з посиланнями
        AssignFile(BookImageLinks, WorkDir+'image_links.txt');
        Reset(BookImageLinks);
          while not Eof(BookImageLinks) do begin
            PImageLink := '';
            ReadLn(BookImageLinks, PImageLink);
            ShowMessage(PImageLink);
          end;
        CloseFile(BookImageLinks);
        //Закінчили обробку посилань
      Memo1.Lines.Add('Закінчили обробку книги з id '+BookId);
      //Закінчили отримання сторінок із посиланням

UPD: оскільки у мене файл з даними перезаписувався постійно(ну завантажило дані у файл, зчитало з них потрібні, вивело, і далі по другому кругу перезаписує дані у той же файл)
Я зробив, щоб кожна ітерація циклу створювала окремий файл з отриманими даними.
Оскільки Ітерацій було всього дві, то це не доставило проблем. І я побачив, що дані в обидва файли записуються однакові, хоч на сервері вони змінюються.
Тепер я взагалі не розумію, що то може бути.