Якщо в функції check:

this.style.property = value;

alert(this.getAttribute('class'))

p.s. Тему переіменуйте на "як отримати назву класу елементу" а то селектор стилю якось не так imho;)

Що більше ніхто не знає ?

А як це значення занести наприклад у змінну, а не виводити на екран ?

Почитайте по яваскрипті уроки і сама головна фішка як виконюється код.
Спочатку у вас іде алерт а після кліку ви змінюєте abc

Вчитись вчитись і ще раз вчитись) Основи пролистайте
http://jsfiddle.net/NjHZT/2/

div.addEventListener("click", function(){abc = this.className}, false);

- цей код виконається лише після кліку, доти abc не визначена.

alert(abc);

- виконується відразу, але змінна abc ще не визначена.

Якщо потрібно відразу вивести клас, то краще так:

div = document.getElementById("div");
alert(div.className);

Якщо після кліку, використовуючи змінну, то так:

div = document.getElementById("div");
div.addEventListener("click", function(){
  abc = this.className;
  alert(abc);
}, false);

Все рівно краще осовювати суть, а то як не будеш знати основ, код який тут народ викладає ти не зможеш продебажити, а дописавши свої пару рядків через місяць взагалі не розберешся. Все рівно рекомендую вчити