проблема в коді, чи в алгоритмі? бо тут потрібні мінімальні знання  c#, головне - алгоритм.

Це код.С++
[code=cpp]#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <iostream.h>

void main(void)
{
    int iNum; // Змінна для натурального числа
    int i; // Лічильник
    clrscr();

    // Вводимо натуральное число
    cout << " Введіть натуральне число: ";
    cin >> iNum;

    // Якщо введено від'ємне то беремо
    // абсолютне значення числа
    iNum = abs(iNum);

    // Шукаємо числа, які діляться на:
    // 2 або 3 або 5 і виводимо на екран
    if(iNum >= 2)
    {
        for(i = 2; i <= iNum; i++)
        {
            if(i % 2 != 0) {
                if(i % 3 != 0) {
                    if(i % 5 == 0)
                        cout << i << "\n";
                }
                else cout << i << "\n";
            }
            else cout << i << "\n";
        }
    } else cout << "Чисел не найдено!\n";
}[/code]

Перевірив - від 3 до 6 є, від 7 до 19 нема, далі треба доводити. Підозрюю, що достатньо буде перевірити, що число між 3 і 6, але доказу поки не маю.

Щось ніяких міркувань, крім статистичних, в голову не лізе, а 6! являє собою виняток з усіх статистичних закономірностей, які я можу придумати, чим особливо дражнить: якщо є один виняток, то цілком можуть бути і інші.

перевірив до 1000, тільки !3 і !4 підходе

import math

for i in range(1,1000):
    f = math.factorial(i)
    for j in range(1,i):
        first = j
        second = j+1
        third = j+2
        allThree = False
        if second<=i:
            j=j*second
        if third<=i:
            j=j*third
            allThree=True
        if j==f and allThree:
            print("!{} fact: {}  {}*{}*{}".format(i,f, first, second, third))

але тут суть в тому, що спершу йде одиничка, котра нічого не вирішує

Ось вам робочий (в певних межах) бідон:

fact = 1
root = 1
for i in range(1,1000):
    fact *= i
    root *= i**(1./3.)
    introot = int(root)
    if fact == introot*(introot+1)*(introot+2):
        print("%d!=%d=%d*%d*%d"%(i,fact,introot,introot+1,introot+2))
    else:
        print("%d fails"%i)