так я і так закриваю з'єднання в try, щоб швидше було, так що finally то таке. Також я робив таким чином, на початку коду відкривав з'днання і не закривав його. Прості запити виконувались нормально, а от MyDataReader = myCommand.ExecuteReader() матюкався на те, що  MyDataReader вже використовується. Ну він же також має закриватись MyDataReader.Close() отже цей дата рідер має ту саму проблему, що й з'єднання. В принципі можна робити лише одне з'єднання на всіх клієнтів, але потрібно щось зробити з дата рідером. Чи створювати свій дата рідер для кожного користувача, чи ще щось.

Я б почав з вивчення довідки. Якісь класи напевне можна використовувати з кількох потоків одночасно, але більшість мабуть ні. Об'єкти цих класів мають бути у кожного потоку свої.
Далі, не дуже правильно створювати по окремому потоку для кожного клієнта. Для дійсно великих навантажень має сенс використовувати іншу техніку: створювати потоки в залежності від кількості ядер і процесорів. Тоді кожен потік має вміти обслуговувати кілька клієнтів одночасно. Тобто потрібно щось на зразок черги з можливістю перейти до виконання наступного елементу в черзі поки поточний заблокований тривалим запитом до бази.