як казав мені один прошарений викладач в ліцеї: "якщо ви зробили якесь математичне відкриття, то вам потрібно їхати в інститут математики *тут адреса інституту*, заходите в корпус, повертаєте праворуч, там сидітиме бабуся на рецепшині - от вам прямо до неї"
З.І. це він нас так тонко посилав

Численные методы или аналитические?

С развитием вычислительной техники началось бурное злоупотребление численными методами в ущерб аналитическим. Такая практика вредит в первую очередь самим численным методам. При той же машинной ошибке усечения и округления аналитические методы дают самые точные результаты и существенно превосходят численные. Желательно их использовать при малейшей возможности.
Возьмем, например, вычисление определителя, потому что эта процедура очень широко применяется в численных методах.
Сейчас определители вычисляются методом Гаусса. Теоретически этот метод дает точное значение определителя. На практике могут возникать большие погрешности, особенно в тех случаях, когда определитель близок к нулю. Такая ситуация часто возникает при математическом моделировании. Исследователь не всегда знает, какие факторы влияют на процесс. Он вводит все подряд искренне веря, что статистика отсеет лишние. А в результате получается плохо обусловленная матрица.
В методе Гаусса применяется много операций деления. Как известно, операция деления дает наибольшую ошибку на ЭВМ из четырех арифметических действий. Перестановка строк и столбцов матрицы радикально не решает этой проблемы. Не спасает и двойная точность.
Но ведь есть же аналитический способ вычисления определителя. В этом способе вообще нет операций деления. Он не применяется потому, что считается очень медленным. Этот тезис о медлительности кочует из книги в книгу больше сотни лет. За это время сменилось несколько поколений вычислительных машин и их создателей. Может пора его (тезис) пересмотреть? А если не пора, так я упростил алгоритм, чтобы не пугать программистов словом "инверсия".
Рассмотрим, как работает классический аналитический метод вычисления определителя.
Нам дана квадратная матрица A с элементами аji. Порядок матрицы n

Таким образом из элементов матрицы А сначала составляются все возможные произведения    из n сомножителей каждое. Эти произведения содержат по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Так вычисляется слагаемое. Знак слагаемого определяется количеством инверсий z данной перестановки сомножителей. Полученные n! (n-факториал) слагаемых и составляют в сумме определитель det A. Практической реализации этого метода я не встречал. Подозреваю, что она не существует. Поэтому пришлось самому создать алгоритм. Вот он:
1 МАССИВ a(n,n): det=0
2 FOR m=1 TO n! : s=1
3 Создание перестановки из набора чисел 1,2,3,...,n , то есть вычисление i1, i2,i 3,...,in
4 Вычисление слагаемого
FOR j=1 TO n
s=s*a(j,i(j)): NEXT j
5 Вычисление количества инверсий z
6 Присвоение знака слагаемому s=s*(-1)z
7 Суммирование слагаемых
det=det+s: NEXT m
8 PRINT det
Заметьте, что в этом алгоритме нет ни одной операции деления.
Остановлюсь подробнее на вычислении количества инверсий z.
5.1 z=0
5.2 FOR j=1 TO n-1
5.3 FOR k=2 TO n
5.4 IF i(j) > i(k) THEN z=z+1
5.6 NEXT k: NEXT j
В чем же заключается модернизация?
1 Нет вычисление количества инверсий.
2 В присвоении знака нет возведение в степень (-1)z.
Как же происходит разделение слагаемых на положительные и отрицательные?
Это мое "ноу-хау (know how)".
Проверка показала, что модернизированный алгоритм работает втрое быстрее исходного, но всё таки медленнее метода Гаусса.