12.45 - дзета як один із коренів комплексного числа (напр. 1, або іншого, модуль якого = 1, радіус кола = 1), а конкретно корінь 5-го степеню. У нього 5 коренів, дійсну 1 ми нерозглядаємо(автоморфірз - 1- завжди в 1 а значить нерозглядаємо) а значить можемо переставляти замість конкретного кореня один з 4-х, тобто маємо 4 автоморфізми(різні/незмішувані).
дзета в квадраті : беремо корінь 1(дзета) - буде дзета в квадраті,
                          беремо 2 - буде в 4-й степені,
                          беремо 3 - буде (dzeta^3)^2 = 6%5 (по модулю 5) = 1,
                          беремо 4 - буде 4*2=8%5=3.
дзета в кубі : беремо 1 - буде 1*3 = 3,
                    беремо 2 - 2*3 = 6%5=1,
                    беремо 3 - 3*3 = 9%5=4,
                    беремо 4 - 4*3 = 12%5=2.
дзета в 4 :  беремо 1 - буде 1*4 = 4,
                    беремо 2 - 2*4 = 8%5=3,
                    беремо 3 - 3*4 = 12%5=2,
                    беремо 4 - 4*4 = 16%5=1.
Просто дзету нерозглядаємо, точки стоять.
Ну і пояснюється що автоморфізми неможна змішувати, тобто якщо робимо перестановки то тільки по стрілочках.
(цікаве спостереження, бачучи тільки початок про дзету, подумав як про дзету функцію Рімана, якої немає в одиниці, і фі(5)=4 і відповідно фі(16)=8 - звязок з простими числами)
14:00 - Далі ми розглядаємо коли дзета корінь 16-го степеня, наприклад одиниці і всі спряжені корені на нашому кільці, але розглядаємо лише 8 з них, які взаємопрості з 16 (це дозволяє незациклюватись(на всіх парних чи кожному 4-му) а пробігати по всьому )
Ну і логіка далі повторюється
один автоморфізм :
дзета в кубі : беремо 1 - буде dzeta^1^3 = 3,
                    беремо 3 - буде dzeta^3^3 = 9,
                    беремо 9 - буде dzeta^9^3 = 27%16=11,
                    беремо 11 - буде dzeta^11^3 = 33%16=1,
                    беремо 5 - буде dzeta^5^3 = 15%16=15,
                    беремо 7 - буде dzeta^7^3 = 21%16=5,
                    беремо 13 - буде dzeta^13^3 = 39%16=7,
                    беремо 15 - буде dzeta^15^3 = 45%16=13,
ну і далі логіка наступних автоморфізмів повторюється...
16:15 - ну і далі дивимось на таблицю яка нам показує (нехай стовпчики -Ґ, а рядочки Ф), що (Ґ*Ф)=(Ґ)*(Ф), одиничний елемент, замкнутість,.. - короче це група.
17:00 показує що це скінченна група (відповідно не до дзети але до автоморфірму) (2->3)*(3->4) = (2->4) ну це я зліва направо пояснив, а він якось криво - з права на ліво а там 1 в 3, 3 в 1, і виходить що перший квадра ніякий, але показую що ці комбінації не вилазят за межу.
18:30 - ну і далі ми розширяємо поле Ку, тепер наші коефіціенти не раціональні (напр.корінь з 5) або взагалі комплексна дзета і дивимось що наша група над автоморфізмом зламалась. Наскільки я розумію, чим више ми йдемо по стовпчику тим менше наші корені розглядаються як "спрядені корені", тіпа в тій парадигмі в них немає змісту і наша група автоморфізму зменшується на 2 а потім на 1. Але про яку відповідність/відображення між поверхами йдеться я на жаль так і не зрозумів
22:00 взаємооднозначне відображення : зліва група над автоморфізмом (елементи група - 4 квадратики, це я можу уявити), а зправа - поле(це та ж група + дві операціх та дистрибутивність) але що там за елементи важко уявити, мабуть щось що обмежує поле й недозволяє дистрибутивності викатитись за межі..
23:00 - структура над полем еквівалентна структурі симетрії. Це як з кубік-рубіком - порядок дій (повернути першу вісь а потім другу, чи навпаки) має значеня, А*Б+С чи А*(Б+С) та сама дистрибутивність
24:00 Ну і теорема Галуа нам дозволяє не мучатись з комплексними числами (складним полем), а в залежності від того які в нас коефіціенти : Ку, Ку(корінь з чогось), (не)раціональні, чи комплексні(тут нічого не дозволяє) міняти наші значення(згідно одного автоморфізму - одного з квадратів).

Вчора перед сном почав дивитись але думки не в те русло пішли(дзета мене попутала), а сьогодні передивлятись та коментувати - поки писав вроді сам почав щось розуміти.

leofun01 (дивлюсь на аватарку) Неживі непомерають!)))) жартую.
Щось у вас не ті думки, ви краще от про що подумайте, як знайти (написати програму що перевірить/перебире часті випадки..) щоб ще такі випадки як корінь з двох познаходити.. а потім зліва зправа більше нуля, виніс за дужки, взяв корінь.. короче підігнав нерівність, І ТУТ ЦЕ ЗМІНЮЮ НА ЦЕ, А ЦЕ НА ЦЕ - і всі такі - ЧАКЛУН!!! 

Читаю про групи Коксетера [wiki (en)], і натрапив на видиво, яке мало би щось пояснити, але поки не вдається. Залишу тут як нагадуваня собі майбутньому.

- на хвилині 31 приклад того як не варто подавати матеріал. Це відбиває бажання розбирати тему.
Комбінаторики я там не побачив. І це не на стільки складно як зобразив автор видива.
Деякі твердження змушують поставити під сумнів взагалі все що він там наговорив.

Є такий проджект HyperSpeedCube, це такий аналог куба Рубіка для 4D.