Це метод Нютона.
Цей ітераційний метод реально крутий, бо кількість значущих цифр збільшується після певної ітерації з прискоренням.
Попробую пояснити його зміст. В кожній ітерації беремо середнє арифметичне між x_n-1 і A/x_n-1, і якщо x_n-1 менше шуканого кореня, то A/x_n-1 буде більшим ніж шуканий корінь, а якщо x_n-1 більше кореня, то A/x_n-1 менше кореня, з цього випливає, що їх середнє арифметичне (x_n) буде ближчим до шуканого кореня ніж попереднє значення (x_n-1) для будь-яких цілого n > 0 і дійсного 0 < x₀ < Infinity, в даному випадку це достатня умова збіжності.
Цей метод можна вдосконалювати. Наприклад якщо в формулу x_n = (x_n-1 + A / x_n-1) / 2 замість x_n-1 підставити (x_n-2 + A / x_n-2) / 2, то можна отримати таке:
x_n = (x_n-2 + A / x_n-2) / 4 + A / (x_n-2 + A / x_n-2).
І в програмі в циклі можна записати якось так:
V = (x + A / x);
x = V / 4 + A / V;

0) От є формула: x_n = (x_n-1 + A / x_n-1) / 2;
1) Тепер запишемо ту саму формулу не для n, а для n-1, отримаємо: x_n-1 = (x_n-2 + A / x_n-2) / 2;
2) В формулу(0) замість x_n-1 вставимо формулу(1): x_n = ((x_n-2 + A / x_n-2) / 2 + A / ((x_n-2 + A / x_n-2) / 2)) / 2;
Тепер цей вираз будемо спрощувати:
3) Використаємо правило (A/B+C/D)/E = A/(B*E)+C/(D*E), виходить: x_n = ((x_n-2 + A / x_n-2) / (2 * 2) + A / ((x_n-2 + A / x_n-2) / 2 * 2);
4) Двійки в першому доданку перемножились, в другому - поділились, от і маємо результат:
x_n = (x_n-2 + A / x_n-2) / 4 + A / (x_n-2 + A / x_n-2).
Враховуючи те, що "(x_n-2 + A / x_n-2)" повторюється, його можна порахувати один раз і використати отримане значення у формулі двічі.
Виходить, якщо використати у програмі це:
V = (x + A / x);
x = V / 4 + A / V;
то загалом^* воно буде виконуватися швидше ніж це:
x = (x + A / x) / 2;
x = (x + A / x) / 2;
бо в першому випадку: 2 додавання і 3 ділення,
а в другому: 2 додавання і 4 ділення.
" загалом^* " - в даному випадку я знехтував особливостями компіляторів і припустив, що алгоритм буде використовувати більше ніж одну ітерацію^*.
" одна ітерація^* " - один прохід по вище описаних стрічках.
Тобто одна ітерація отриманого методу дає таке ж значення шуканого кореня як і дві ітерації початкового ( x = (x + A / x) / 2; ).