коротше кажучи, розібрався я з синусами й косинусами

Також наше пойняв, що таке просте рівняння і параметричне.
Просте рівняння описує всю множину точок, котрі належать колу, це я зара кажу про x²+y²=r²
ну а параметричне має деяку змінну, за котру ми можемо тягати, і таким чином отримати конкретну точку, що належить якійсь кривій, наприклад.

Щодо синусу та косинусу. Чому воно малює коло?
Зараз я розумію, що для малювання замкнутого контуру нам необхідна циклічність, тобто, щоб підставляючи значення, що лінійно зростає, ми могли отримати однаковий результат.
Тобто, за допомогою синуса та косинуса ми не обов'язково можемо отримати коло. Я вірю, що якщо почарувати, то ми зможемо малювати квадрат за допомогою цих функцій.
Але чому ж воно малює саме коло?
Та тому що ці функції повертають правильні значення, необхідні для малювання кола. Якщо синус, чи косинус буде якимось більшим, чи меншим, то ми вже не отримаємо коло.
А як ми отримали такі дивовижні значення, що малюють рівнесеньке коло?
Так ми ж самі синуси з косинусами створили використовуючи коло та прямокутний трикутник. Тобто саме коло вже містить всі необхідні дані, а ми просто взяли потрібні нам дані, та привели їх в такий вигляд, аби можна було малювати коло. Зараз я вірю, що будь-яка форма має свої параметричні функції.
Нажаль, https://www.desmos.com/calculator не малює коло, якщо юзати параметричні функції. Так би я вам показав коло, що хвилюється
y=sin(t)+sin(t*10)/10
x=cos(t)

Я навіть був квадрата зробив, використовуючи ceil(), але там тільки 4 точки показується.

Тепер я хочу розібратись, як люди роблять гладеньку інтерполяцію за допомогою косинусу. Почну з лінійної інтерполяції, а потім буду думати, як би косинуса туди присунути

захтів був намалювати отаке коло

тобто оці хвилі повинні бути повернути в центр, ну або від центру, тут всеодно

почав спершу розбиратись, як взагалі повернути якийсь вектор на якийсь градус, наче розібрався

[img]https://не-дійсний-домен/re8qI/6a72ac6c1b.png[/img]

тепер думаю, що мені треба повернути сам графік синусу на потрібні градус, тобто для кожного градусу мені треба будувати новий графік, тіпо от так

тілько оцих графіків буде стільки, скільки точок в колі, і я буду додавати значення того графіку до точки

Попробував в gnuplot. Ніби нічого складного.

set parametric
show parametric
set samples 1024
set trange [0:2*pi]
ampl = 0.2
count = 12
width = 3
plot (ampl*sin(count*t)+1)*sin(t), (ampl*sin(count*t)+1)*cos(t) lw width
ampl = 0.1
count = 24
plot (ampl*sin(count*t)+1)*sin(t), (ampl*sin(count*t)+1)*cos(t) lw width

Отримано як було задумано:

Фігура Лісажу, але у трохи перекошеній системі координат.

ну я  там написав був, що зрозумів це вже

нічого страшного, з усіма буває

та я зрозумів, що нормально, просто мозком не можу зрозуміти, як воно працює. як ви дійшли до такого коду.
От в мене була ідея - додаємо до синусу ще один синус, в котрого хвилі менші й частіші, а потім множимо це на косинус t, шоб повернути додатковий синус на потрібний кут, типу так

plt.plot(np.sin(t)+(np.sin(t*10)/10)*np.cos(t), np.cos(t)+(np.sin(t*10)/10)*np.cos(t),'r', linewidth = width)

і в мене вийшло ось це

я так розумію, по ідеї там повинні бути саме кільця, але щось відразає ту частину, котра всередині великого кільця

Параметричне рівняння кола (в координатах xOy) має вигляд:
x = r * cos(t);
y = r * sin(t);
t ∈ [c; c + 2 * π];
r, c ∈ ℝ.
де r - радіус кола, а c визначає, з якого кута починається (і закінчується) малювання кола.

Якщо потрібно намалювати "хвилі по колу", щоб вони були напрямлені до/від центру кола, то треба змінювати радіус кола під час малювання.
Значить в рівняннях потрібно r замінити на (r + ampl * cos(a)), де ampl - амплітуда коливань (висота хвиль), а a - кут, який дає кількість коливань (кількість хвиль).
Амплітуда - це просто число, яке ми визначаємо, як захочемо.
З кутом трохи складніше. Якщо cos(a) має давати кількість хвиль, то кут (a) має змінюватись, і єдиний параметр, який змінюється в рівняннях - t. Значить a має бути залежним від t, і найпростіше встановити лінійну залежність
a = count * t
де count ∈ ℝ, але якщо count не буде цілим числом, то хвильки на кінцях не зійдуться (або зійдуться не гладко). Тому краще буде count ∈ ℕ і це буде кількість хвиль на колі.
От і получились рівняння:
x = (r + ampl * cos(count * t)) * cos(t);
y = (r + ampl * cos(count * t)) * sin(t);
t ∈ [c; c + 2 * π];
r, c, ampl ∈ ℝ;
count ∈ ℕ.
В моїх прикладах радіус = 1, c = 0, x і y можна міняти місцями, а для коливань радіуса можна використовувати будь-яку періодичну функцію (не тільки cos).