Узагалі це питання визначення, а не суперечок.
Класична теорія метрик визначає довжину як невід'ємну величину, і доки ми нею користуємося, це так і є.
Власне, питання переважно в аксіомі симетрії:
d(x,y) = d(y,x)
Як я розумію, для систем із від'ємними довжинами автоматично буде виконуватися властивість антисиметрії
d(x,y) = - d(y,x)
Але це унеможливлює чи значно ускладнює купу інших операцій - наприклад, нерівність трикутника стає необхідно перевіряти на правильну послідовність вершин, а полярна система координат створюватиме "привидів" на напрямку φ+π. Ну і далі - якщо можливі від'ємні довжини, то чи можливі комплексні? А якщо можливі комплексні, то що робити, коли їх не можна порівнювати? Довжини, зрештою, створюють метрику, яка дозволяє порівнювати відстані, з мінімальною відстанню між точкою і нею ж. А від'ємні довжини роблять цю довжину не мінімальною.

Числа як такі абстрактні. Те, що хтось щось не здатний зрозуміти, не може бути аргументом при обговоренні цього, ignoratio non est argumentum.

Ще одне: чи може довжина масиву бути від'ємною? Скільки елементів разом у масивах довжиною 10 і -10?

Навпаки - століття так що 17-го від'ємні числа вважалися повною абстракцією, вигадкою, зручною для деяких обчислень, але без практичного застосування поза цими обчисленнями. Це змінив лише Декарт. Тобто що природно, а що ні - можна посперечатися.

А якщо виникає потреба їх усе ж таки порівняти - тоді що, вводимо метрику, але просто не називаємо її "довжиною"?

Метрика - це узагальнення довжини, так само, як тензор - узагальнення числа. Ви ж не кажете "нульовий тензор", коли говорите про число 0, правда?

Якщо це гумор, то він десь пройшов повз мене. От ви, коли говорите "люди", кажете про багатоклітинні біологічні структури? Що з вами не так?

Ще раз: для математичного вираження понять "ближче-далі". Може бути щось ближче до вас, ніж ви самі? Що саме? Як ви визначаєте, що до вас ближче, а що далі?

Я працюю в сфері харчової продукції у нас кінець місяця об'єми часто від'ємні.))) Дивишся на ті таблиці а об'єми з мінусами. Так що залежить як ці величини застосовувати.

Може. Щойно знайшов шикарний приклад.
В мене є телефон зі списком номерів, на які я хочу подзвонити і серед тих номерів є мій номер.
В цій задачі близькими до мене будуть ті, до кого я додзвонився. І далекими будуть ті, до кого я не додзвонився.
Якщо я подзвоню на будь-який номер крім свого і там піднімуть трубку, то він буде до мене ближчим ніж я сам, бо до себе я не зможу додзвонитися, оператор повідомить що я зайнятий.

Якщо ми розглядаємо відстань як відстань від точки до зовнішнього об'єкта, то як ця відстань може бути від'ємною? Схоже, що ніяк. Але що, як замість точки в нас об'єкт ненульового розміру, і відстань від нього відраховується від його поверхні? Тоді можна розрізнити відстань назовні (яка буде додатньою) й відстань усередину (яка буде від'ємною).