і шо ви цим хотіли сказать?

то так і казали б, а то я вже подумав, шо це ви виправили мене, і почав шукати, де я зробив помилку

Логарифм — це експонента навпаки. Якщо y=a^x, то log_ay = x.
Наприклад, якщо 49=7², то log₇49=2. Тобто, тут треба підібрати такий степінь числа 7, щоб виходило 49 — має вийти 2, воно і буде результатом логарифмування. Ну і логарифми теж можуть бути дробовими.

вивчав сьогодні властивості логаритмів, ось цю, наприклад
log_x A + log_x B = log_x A*B

Доведення зрозумів, але я ж не цей во, і намагаюсь зрозуміти це на інтуїтивно-ментально-духовному рівні, "по-своєму".
Дійшов до розуміння ось чого.

Перш за все, варто розуміти, що експонента - це не просто якесь число, це міра "потужності" якогось числа. 2⁴ - це не просто 2 помножене на 2 чотири рази - 2 * 2 * 2 * 2. Це 2, котре перейшло на 4 рівні вгору відносно самого себе, еволюціонувало, наприклад. Я не розглядаю цю операцію, як просте множення, це дещо інше - певна модифікація числа. Тому що 2^1/4 - це не 2 помножене на себе 1/4 рази, а зменшення "потужності" числа певну кількість раз = 1/2/2/2/2.

При цьому, якщо при збільшенні потужності числа ми маємо 2 4 8 16, то можна помітити, що кожне число більше, або менше від попереднього рівня рівно в 2 рази. 16/8 = 2, 8/4 = 2, і так само з меншими потужностями. Тому не дарма гамериканці називають степінь - power (потужність).

Коли ми дивимось на логаритм, то важливо розуміти, що результатом виразу log_x A  є саме експонента, а не просто якесь число. Тобто - це рівень потужності якогось числа (в цьому випадку числа X).

Вираз x^C * x^D з точки зору чисел означає те, що ми просто множимо одне число на інше, а з точки зору степені - ми збільшуємо потужність числа x^C на D значень. Тому результатом буде x^C+D, тобто, збільшення потужності, а не множення числа.

Тепер ось цей вираз
log_x A + log_x B
можна прочитати так:

ми просто додаємо дві потужності числа X, тобто, це те саме, що X^{log_xA + log_xB}, тільки нас цікавить лише значення потужності, без X. При цьому ми знаємо, що X^log_xA  = A, а X^log_xB= B,
отже, ми спершу можемо переписати цей вираз таким чином: X^log_xA * X^log_xB, а потім таким A * B.

Тепер ми бачимо, що A * B є кінцевим результатом піднесення числа X до степені log_x A + log_x B.

Тобто, ми маємо логаритм з базою X, основою A * B, котрий дорівнює log_x A + log_x B

Тому log_x A + log_x B = log_x A*B

Замінив. В мене фон темний, якщо що. Бо справжні програмісти використовують лише темні теми.

Спершу ліміти.

Здавайтесь. Вершина впала на вас і розтрощила.

[Почати нову гру]
      [Опції]
     [Вихід]

Хтось оце може пояснити мені, як вони порахували найменшу необхідну кількість операцій для сортування масиву з унікальними числами?

Тут вони кажуть, що це буде n*log_2(n).
Кажуть - уявімо собі найгірший сценарій, коли всі числа в масиві є унікальними. Тоді у нас є n! пермутацій (це я вже на листочку перевірив), і лише в одній з пермутацій всі числа є відсортованими.
Алгоритм сортування повинен отримати достатньо інформації через процес порівняння, щоб ідентифікувати оту одну пермутацію.
Далі вони кажуть - якщо алгоритм закінчується після максимум f(n) кроків, то він не може відрізнити більше як 2^(f(n)) випадків, тому що числа різні, і кожне порівняння має лише два можливих результати.

Ось це я не розумію, звідки вони взяли те  2^(f(n)) ?

Для того, щоб переставити елементи місцями, їх потрібно порівняти. Ось це порівняння може давати 2 випадки (a>b) або (a<b). А f(n) - кількість кроків до завершення алгоритму... Ось тобі і 2^f(n) >= n!