Прочитайте в стандарті визначення функції. Як гадаєте, чому там в параметрах функції порівняння показчики?

Бо вона приймає не елементи, а показчики на них. У вас елементи - це показчики на рядки, отже, функція має приймати...

void **str1, очевидно же.

Вибачте, не подивився, як ви передаєте...

char* s1 = *(char**)str1, *s2 = *(char**)str2;

Заголовок має бути такий самий, як першого разу

В C/C++ є велика купа різних типів, які використовуються як рядки. В C рядків немає взагалі, а є масиви char-ів, які обробляються стандартними функціями, як рядки, якщо там наприкінці є '\0', і покажчики на ці масиви. В C++ є std::string. Є аналоги для wchar_t. І кожен фреймворк пропонує ще щось своє велосипедне.
Відповідно, якщо вам треба, щоб елементи були рядками - юзайте std::string. Або змиріться із тим, що покажчик на ланцюжок char-ів в пам'яті, що зачінчується нулем - це і є рядок.

Якщо ввести
2
88
89, то виведе 8988, тобто 89 має стояти перед 88 (так і має бути), але якщо ввести
5
87
88
89
8
47, то виведе 888898747. Тут вже 89 стоїть після 88.

#include <iostream>
using namespace std;

int cmp(const void* str1, const void* str2)
{
    char* s1 = *(char**)str1, *s2 = *(char**)str2;
    int l = min(strlen(s1), strlen(s2));
    if (strncmp(s1, s2, l) || strlen(s1) == strlen(s2)) return -strncmp(s1, s2, l);
    unsigned char i = l;
    if (strlen(s1) > strlen(s2))
    {
        while (s1[i] == s1[l-1] && i < strlen(s1)) ++i;
        return s1[i]-s1[l-1];
    }
    else
    {
        while (s2[i] == s2[l-1] && i < strlen(s2)) ++i;
        return s2[i]-s2[l-1];
    }
}

int main()
{
    /*char** s1 = 0, **s2 = 0;
    //char** p1 = 0, **p2 = 0;
    cin >> *s1 >> *s2;
    //*p1 = s1; *p2 = s2;
    cout << cmp(*s1, *s2);*/
    short N;
    char S[101];
    cin >> N;
    char** A = new char*[N];
    for (char i = 0; i < N; ++i)
    {
        cin >> S;
        A[i] = new char[strlen(S)+1];
        strcpy(A[i], S);
    }
    qsort(A, N, 4, cmp);
    for (char i = 0; i < N; ++i) cout << A[i];
    //for (char i = 0; i < N; ++i) delete A[i];
    delete [] A;
    cout << endl; system("pause");
    return 0;
}

Ви не могли б відкрити нам таємницю - що той cmp робить? За якою ознакою він має сортувати рядки?

Після того, як я втретє не зміг правильно сформулювати умову першості, забив на всі порівняння і пішов "в лоб":

int cmp(const void* str1, const void* str2)
{  
  char* s1 = *(char**)str1, *s2 = *(char**)str2;
  char buf1[101], buf2[101];
  strcpy( buf1, s1 );
  strcat( buf1, s2 ); //в buf1 - s1+s2
  strcpy( buf2, s2 );
  strcat( buf2, s1 ); //в buf2 - s2+s1
  return strcmp( buf2, buf1 ) ; //якщо s2+s1>s1+s2, то повертаємо додатнє значення і qsort міняє рядки
}

Звісно, треба відлагодити, але ідея, сподіваюся, зрозуміла.